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数学中基本不等式公式和例题
2026-08-15【视窗】
简介基本不等式是数学中的重要工具，常用于求最值、证明不等关系。以下是常见的基本不等式及其应用实例： 不等式名称 公式 说明 均值...
基本不等式是数学中的重要工具，常用于求最值、证明不等关系。以下是常见的基本不等式及其应用实例：
| 不等式名称 | 公式 | 说明 | ||||||
| 均值不等式 | $ frac{a+b}{2} geq sqrt{ab} $ | 当且仅当 $ a = b $ 时取等号 | ||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | leq | a | + | b | $ | 向量或实数的绝对值性质 |
| 柯西不等式 | $ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) geq (ac + bd)^2 $ | 适用于向量与数列 | ||||||
| 杨氏不等式 | $ ab leq frac{a^p}{p} + frac{b^q}{q} $ | $ frac{1}{p} + frac{1}{q} = 1 $ |
例题：
已知 $ x > 0 $，求 $ x + frac{1}{x} $ 的最小值。
使用均值不等式：$ x + frac{1}{x} geq 2sqrt{x cdot frac{1}{x}} = 2 $，当 $ x = 1 $ 时取等号。
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